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\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 5: 环上的测度 }{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}

\section{测度的基本性质}

我们用 \(\widehat {R}\) 表示实数全体再加上 \(+\infty\), \(-\infty\)
\footnote{\(+\infty\) 常简写成 \(\infty\). 我们规定对任何有限实数 \(a, a + (\infty) = (\infty) + a = \infty\), \(\infty\) 认为比任何有限实数大；而对一列大于或等于零的 \(a_i\), 如果其中有一个是 \(\infty\), 就认为 \(\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_i = \infty\), 如果 \(a_i\) 是非负的有限实数, \(\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_i\) 发散时认为 \(\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_i = +\infty\). }
所成的``推广''数集, 设 \(\mathbf{E}\) 是一个集类, 如果 \(\mu\) 是集类 \(\mathbf{E}\) 到 \(\widehat{R}\) 的映照, 就是说, \(\mu\) 是以集为``自变元''的, 取值是实数或 \(\pm \infty\) 的函数, 那么就称 \(\mu\) 是个\textbf{集函数}. 

\begin{example}\label{eg1}
	设 \(\mathbf{P}_1\) 是直线上的区间全体所成的集类, \(m\) 是 \(\mathbf{P}_1\) 上定义的如下的集函数: 对于 \(\mathbf{P}_1\) 中的元 \(E\), 如果 \(E\) 是以 \(a, b\) (\(a \leqslant b\)) 为端点的区间 (不论 \(E\) 是开的, 闭的或是半开半闭的) , 规定 \(m(E) = b - a\). 这个集函数就表示区间的长度.
\end{example}

下面我们要考察一种特殊的集函数. 

\begin{definition}\label{def2.2.1}
	设 \(\mathbf{R}\) 是由集 \(X\) 的某些子集所成的环, \(\mu\) 是 \(\mathbf{R}\) 上的集函数, 如果 \(\mu\) 具有下列性质: 
\begin{enumerate}
    \item \(\mu (\varnothing) = 0\);\label{def2.1.1.1}
    \item 非负性: 对于任何 \(E \in \mathbf{R}, \mu (E) \geqslant 0\);\label{def2.1.1.2}
    \item \label{def2.1.1.3} 可列可加性: 对任何一列 \(E_i \in \mathbf{R} (i=1,2,3,\dots)\), 如果
    \[ E_i \cap E_j = \varnothing (i \neq j\, \text{时})\,\text{且}\, \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \in \mathbf{R}, \]
    就必定有
    \[ \mu \left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) = \sum\limits_{t=1}^{\infty} \mu (E_i). \] 
\end{enumerate}
那么集函数 \(\mu\) 就称为\textbf{环 \(\mathbf{R}\) 上的测度}, 称 \(\mu (E)\) 为集 \(E\) 的测度. 
\end{definition}

容易看出, 除了 \(\mu\) 是恒取 \(\infty\) 的 \(\mathbf{R}\) 上集函数外, 满足 \ref{def2.1.1.2}、\ref{def2.1.1.3} 条件的 \(\mu\) 必满足 \ref{def2.1.1.1}. 事实上, 因为至少存在一个 \(E \in \mathbf{R}, \mu (E) < \infty\). 取 \(E_1 = E, E_2 = E_3 = \cdots = \varnothing\), 因此
\[ E = \bigcup\limits_{t=1}^{\infty} E_i, E_i \cap E_j = \varnothing (i \neq j), \]
由 \ref{def2.1.1.3},
\[ \mu (E) = \mu \left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) = \sum\limits_{t=2}^{\infty} \mu (E_i) + \mu (E) \]

从上述消去有限数 \(\mu (E)\), 便得到
\[ \sum\limits_{i=2}^{\infty} \mu (\varnothing) = 0 \]

再从 \ref{def2.1.1.2}, 立即得到 \(\mu (\varnothing) = 0\). 

除了空集取值为零, 其余一切集都取值为 \(\infty\) 的测度是平凡的, 一般场合都不用, 所以一般文献中都把测度理解为非负、可列可加集函数 (即总意味着有些集的测度是有限的) . 
下面给几个简单的例子. 

\begin{example}\label{eg2}
	设 \(X\) 是任意的一个集, \(\mathbf{R}\) 表 \(X\) 的有限子集全体所成的环,在 \(\mathbf{R}\) 上定义集函数 \(\mu\) 如下:
\[\mu(E) = E\, \text{中元素的个数} \quad (E \in \mathbf{R})\]
这个 \(\mu\) 是环 \(\mathbf{R}\) 上的测度. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg3}
	设 \(X\) 是任意的一个(非空)集, \(\mathbf{R}\) 表示 \(X\) 的所有子集全体所成的环. 在 \(X\) 中任意取定一个元 \(a\), 然后在 \(\mathbf{R}\) 上定义集函数 \(\mu_a\) 如下:对任何 \(E \in \mathbf{R}\),
\[\mu_a(E) =
\begin{cases}
0 & \text{当 }\, a \notin E\, \text{时} \\
1 & \text{当 }\, a \in E\, \text{时}
\end{cases}\]
那么 \(\mu_a\) 是环 \(\mathbf{R}\) 上的测度.
\end{example} 

\begin{example}\label{eg4}
	\(\mathbf{R}\) 是直线上的一切子集全体所成的环. 对于 \(E \in \mathbf{R}\), \(\mu(E)\) 是 \(E\) 中元素个数(如果 \(E\) 中有无限个点, \(\mu(E) = \infty\)). \(\mu\) 是 \(\mathbf{R}\) 上的测度. 
\end{example}

下面的定理是测度的一些基本性质. 

\begin{theorem}\label{thm2.2.1}
	如果 \(\mu\) 是环 \(\mathbf{R}\) 上的测度, 那么有下列性质. 
\begin{enumerate}
    \item\label{thm2.2.1.1} 有限可加性: 如果 \(E_1, E_2, \dots, E_n \in \mathbf{R}\), 且这些集两两不相交, 那么
    \[\mu \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i \right) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mu(E_i).\]
    \item\label{thm2.2.1.2} 单调性: 如果 \(E_1, E_2 \in \mathbf{R}\), 且 \(E_1 \subseteq E_2\), 那么 \(\mu(E_1) \leqslant \mu(E_2)\). 
    \item\label{thm2.2.1.3} 可减性: 如果 \(E_1, E_2 \in \mathbf{R}\), 且 \(E_1 \subseteq E_2\), 又如果 \(\mu(E_1) < \infty\), 那么 \[\mu(E_2 - E_1) = \mu(E_2) - \mu(E_1).\] 
    \item\label{thm2.2.1.4} 次可列可加性: 如果 \(E_n (n = 1, 2, 3, \dots)\) 及 \(E\) 都属于 \(\mathbf{R}\), 且
    \(E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i\), 
    那么 \[\mu(E) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(E_i).\] 
    \item\label{thm2.2.1.5} 如果 \(E_n \in \mathbf{R} (n = 1, 2, 3, \dots)\), 且
    \(E_1 \subseteq E_2 \subseteq E_3 \subseteq \cdots\), 
    \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n \in \mathbf{R},\)
    那么
    \[\mu \left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \mu(E_n).\]
    \item\label{thm2.2.1.6} 如果 \(E_n \in \mathbf{R} (n=1, 2, 3, \dots), E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \cdots \),
    \(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} E_n \in \mathbf{R}\), 
    而且至少有一个 \(E_n\) 使 \(\mu(E_n) < \infty\), 那么
    \[\mu \left( \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \mu(E_n)\]
\end{enumerate}
此外, 如果 \(\mathbf{R}\) 本身是 \(\sigma\)-环, 那么还有下面的性质: 
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{6}
    \item\label{thm2.2.1.7} 如果 \(E_n \in \mathbf{R} (n=1, 2, 3, \dots)\), 那么 \(\mu(\liminf\limits_{n \to \infty} E_n) \leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \mu(E_n)\). 
    \item\label{thm2.2.1.8} 如果 \(E_n \in \mathbf{R} (n=1, 2, 3, \dots)\), 而且有个自然数 \(k\) 使得
    \(\mu \left( \bigcup\limits_{n=k}^{\infty} E_n \right) < \infty\), 
    那么 \[\mu(\limsup\limits_{n \to \infty} E_n) \geqslant \limsup\limits_{n \to \infty} \mu(E_n).\] 
    \item\label{thm2.2.1.9} 如果 \(E_n \in \mathbf{R} (n=1, 2, \dots), \lim\limits_{n \to \infty} E_n\) 存在, 且有个自然数 \(k\) 使得
    \(\mu \left( \bigcup\limits_{n=k}^{\infty} E_n \right) < \infty\), 
    那么 \[\mu(\lim\limits_{n \to \infty} E_n) = \lim\limits_{n \to \infty} \mu(E_n).\]
    \item\label{thm2.2.1.10} 如果 \(E_n \in \mathbf{R} (n=1, 2, 3, \dots)\) 而且有一个自然数 \(k\) 使得
    \(\sum\limits_{n=k}^{\infty} \mu(E_n) < \infty \),
    那么 \[\mu(\limsup\limits_{n \to \infty} E_n) = 0.\]
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
\ref{thm2.2.1.1} 对于 \(\mathbf{R}\) 中有有限个两两不相交的元 \(E_1, \dots, E_n\) 只要令 \(E_{n+1} = E_{n+2} = \cdots = \varnothing\). 这样由可列可加性及 \(\mu(\varnothing) = 0\) 就得到有限可加性. 

\ref{thm2.2.1.2} 因为 \(E_1, E_2 - E_1\), 是 \(\mathbf{R}\) 中不相交的元, 其和集为 \(E_2\), 所以由测度的有限可加性就得到
\begin{align}\label{2.2.1}
	\mu(E_2) = \mu(E_1) + \mu(E_2 - E_1) \
\end{align}
又因 \(\mu(E_2 - E_1) \geqslant 0\), 所以 \(\mu(E_2) \geqslant \mu(E_1)\). 

\ref{thm2.2.1.3} 由于 \(\mu(E_1) < \infty\), 所以由 \eqref{2.2.1} 式两边同减 \(\mu(E_1)\) 即得
\[\mu(E_2 - E_1) = \mu(E_2) - \mu(E_1). \]

\ref{thm2.2.1.4} 因为 \(E_n \in \mathbf{R}, E \in \mathbf{R}, E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i\), 记 \(F_n = E \cap E_n\), 就有 \(F_n \subseteq E_n, F_n \in \mathbf{R}, \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i = E\). 再记 \(G_1 = F_1, G_n = F_n - \bigcup\limits_{i=1}^{n-1} F_i (n=2, 3, 4, \dots)\), 这时, \(G_n \in \mathbf{R} (n=1, 2, \dots), G_n \subseteq F_n\) 而且
\[ \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} G_i = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i = E \]
此外, \(G_n\) 是两两不交的, 所以由可列可加性有
\[ \mu(E) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(G_i) \]
又因为 \(G_n \subseteq F_n \subseteq E_n\), 由 (ii) \(\mu(G_n) \leqslant \mu(E_n)\). 再利用上述得到次可列可加性.

\ref{thm2.2.1.5} 因为 \(E_n \in \mathbf{R}, E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots\), 记 \(F_1 = E_1, F_n = E_n - E_{n-1}, (n=2, 3, \dots)\), 这时 \(F_n\) 是一列两两不相交的集, 而且
\[ \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i, \bigcup\limits_{i=1}^{n} F_i = E_n \]
所以
\begin{align*}
	\mu \left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) &= \mu \left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i \right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(F_i) = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} \mu(F_i) \\
&= \lim\limits_{n \to \infty} \mu \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} F_i \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \mu(E_n)
\end{align*}

\ref{thm2.2.1.6} 在单调下降的情况下, 因为由假设有一个 \(n\) 使 \(\mu(E_n) < \infty\), 所以不妨认为 \(\mu(E_1) < \infty\). 记 \(F_n = E_1 - E_n (n=1, 2, 3, \dots)\), 这时, \(F_n\) 是单调上升的, 而且
\[ \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i = E_1 - \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} E_i \in \mathbf{R} \]
所以由 \ref{thm2.2.1.5} 得到
\[ \mu \left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \mu (F_n) \]
但另一方面由有限可加性,可知
\[ \mu (E_1) = \mu (F_n) + \mu (E_n), \quad \mu (E_1) = \mu \left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i \right) + \mu \left( \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) \]
所以
\begin{align*}
	\mu \left( \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) &= \mu (E_1) - \mu \left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i \right) = \mu (E_1) - \lim\limits_{n \to \infty} \mu (F_n) \\
 &= \lim\limits_{n \to \infty} [\mu (E_1) - \mu (F_n)] = \lim\limits_{n \to \infty} \mu (E_n)
\end{align*}

\ref{thm2.2.1.7} 由于 \(\liminf\limits_{n \to \infty} E_n = \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} \bigcap\limits_{n=k}^{\infty} E_n\), 记 \(F_k = \bigcap\limits_{n=k}^{\infty} E_n\), 这时 \(F_k (k=1,2,3,\dots)\) 是单调上升的,而且 \(F_k \subseteq E_k\), 所以由 \ref{thm2.2.1.5} 和 \ref{thm2.2.1.2} 可知
\[ \mu \left( \liminf\limits_{n \to \infty} E_n \right) = \mu \left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} F_k \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \mu (F_n) \leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \mu (E_n) \]

\ref{thm2.2.1.8} 由于 \(\limsup\limits_{n \to \infty} E_n = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} \bigcup\limits_{n=k}^{\infty} E_n\), 记 \(F_m = \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} E_n\), 这时 \(F_m (m=1,2,3,\dots)\) 是单调下降的, \(F_m \supseteq E_m\), 而且由假设只要 \(m \geqslant k\), 必有 \(\mu (F_m) < \infty\), 所以由 \ref{thm2.2.1.6} 可知
\[ \mu (\limsup\limits_{n \to \infty} E_n) = \mu \left( \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} F_m \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \mu (F_n) \geqslant \limsup\limits_{n \to \infty} \mu (E_n) \]

\ref{thm2.2.1.9} 由 \ref{thm2.2.1.7} 及 \ref{thm2.2.1.8} 即得.

\ref{thm2.2.1.10} 由上限集的定义, 可知对任何自然数 \(m\),
\[ \limsup\limits_{n \to \infty} E_n \subseteq \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} E_n \]
因此,由单调性及次可列可加性,即得
\[\mu \left( \limsup\limits_{n \to \infty} E_n \right) \leqslant \mu \left( \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} E_n \right) \leqslant \sum\limits_{n=m}^{\infty} \mu (E_n)\]
而因为 \(\sum\limits_{n=k}^{\infty} \mu (E_n) < \infty\),在上述中令 \(m \to \infty\),上式最右边趋于零.并由测度的非负性,得
\[\mu \left( \limsup\limits_{n \to \infty} E_n \right) = 0\]

至此,定理 \ref{thm2.2.1} 证毕.
\end{proof}

在\ref{thm2.2.1.7}-\ref{thm2.2.1.10}中,我们加上了\(\mathbf{R}\)是\(\sigma\)-环的要求,只是为了叙述简单一点.对于\(\mathbf{R}\)是环, 只要假设证明中出现的集都在\(\mathbf{R}\)中就可以了. 又在\ref{thm2.2.1.6}中要求至少有一个\(E_n\),满足\(\mu (E_n) < \infty\),这个条件是不能少的.例如在例 \ref{eg4} 中取一列集\(E_n = \{ n, n+1, n+2, \dots \}(n=1,2,\dots)\).显然\(E_1 \supseteq E_2 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq \cdots\),并且\(\lim\limits_{n \to \infty} \mu (E_n) = \infty\).另一方面
\(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} E_n = \varnothing\)
从而
\(\mu \left( \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \mu (\varnothing) = 0\). 

\section{环 \(\mathbf{R}_0\) 上的测度 \(m\)}

下面要讲一个在分析数学中重要的测度.由直线上左开右闭的有限区间\((a,b] (a \leqslant b)\)全体所成的集类记为\(\mathbf{P}\),我们先定义\(\mathbf{P}\)上的集函数\(m\)如下: 对\(E = (a,b] \in \mathbf{P}\),令
\[m(E) = b - a\]
\(m\)就表示区间的长度,由\(\mathbf{P}\)中任意有限个元素作和集,这样的和集全体记为\(\mathbf{R}_0\),\(\mathbf{R}_0\)是一个环(见Lecture 4 例 5).显然\(\mathbf{P} \subseteq \mathbf{R}_0\),而且\(\mathbf{R}_0\)中元\(E\)可以写成\(\mathbf{P}\)中有限个两两不相交的元\(E_1, E_2, \dots, E_n\)的和集.我们称这种把\(\mathbf{R}_0\)中元\(E\)分解成\(\mathbf{P}\)中有限个互不相交的元的和集的分解为\textbf{初等分解}. 显然, 初等分解并不是唯一的.

现在我们把集函数\(m\)按下面的办法由\(\mathbf{P}\)延拓到\(\mathbf{R}_0\)上;对于 \(E \in \mathbf{R}_0\), 设 \[E = \coprod\limits_{i=1}^{n} E_i \quad(E_1, \dots, E_n \in \mathbf{P}, E_i = (a_i, b_i], E_1, \dots, E_n\, \text{互不相交})\] 是 \(E\) 的一个初等分解, 我们就令
\begin{align}\label{2.2.2}
	m(E) = \sum\limits_{i=1}^{n} (b_i - a_i)
\end{align}
首先我们注意, 对于 \(\mathbf{R}_0\) 中的一个元 E, 初等分解的方法并不唯一, 所以我们下面必须证明用上述方法规定的 \(m(E)\) 的值与 E 的初等分解的方式无关, 即它是由 E 所完全确定的. 

\begin{lemma}\label{lemma1}
	由 \eqref{2.2.2} 式定义的 \(\mathbf{R}_0\) 上集函数 m 是有确定值的, 即 \(m(E)\) 的值只与 E 有关, 而与 E 的初等分解的具体形式无关. 
\end{lemma}

\begin{proof}
	首先, 我们对于 \(E \in \mathbf{P}\) 的情况来证明引理 \ref{lemma1}. 设
\[(a, b] = \bigcup\limits_{i=1}^{n} (a_i, b_i]\]
是 \((a, b]\) 的一个初等分解. 不妨认为 \(a_1 \leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n\). 因为 \((a_i, b_i], i = 1, 2, \dots, n\), 是两两不交的, 而且 \(\bigcup\limits_{i=1}^{n} (a_i, b_i] = (a, b]\), 所以必定
\[a = a_1 \leqslant b_1 = a_2 \leqslant b_2 = a_3 \leqslant b_3 = \cdots = a_n \leqslant b_n = b\]
由此 \[\sum\limits_{i=1}^{n} (b_i - a_i) = (b_1 - a_1) + (b_2 - a_2) + \cdots + (b_n - a_n) = (b_n - a_1) = (b - a).\] 
可见当 \(E = (a, b] \in \mathbf{P}\) 时, 无论对怎样的初等分解, 由 (2.2) 式定义的 \(m(E)\) 总是等于 \(b - a\). 

对于一般的 \(E \in \mathbf{R}_0\), 设 \(E = \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i, E = \bigcup\limits_{j=1}^{l} F_j\) 是 E 的两个初等分解 
\begin{center}
	(即 \(E_i, F_j \in \mathbf{P}, i = 1, 2, \dots, n; j = 1, 2, \dots, l\)；\(E_i\) 之间互不相交, \(F_j\) 之间互不相交).
\end{center} 
记 \[G_{ij} = E_i \cap F_j (i = 1, \dots, n; j = 1, \dots, l).\] 显然 \(G_{ij} \in \mathbf{P}\). 这时由于 \(E_i = \bigcup\limits_{j=1}^l G_{ij}\) 是 \(E_i\) 的初等分解, 而且 \(E_i \in \mathbf{P}\), 所以 \(m(E_i) = \sum\limits_{j=1}^l m(G_{ij})\). 因此
\begin{align}
	\sum\limits_{i=1}^n m(E_i) = \sum\limits_{i=1}^n \left( \sum\limits_{j=1}^l m(G_{ij}) \right) \label{2.2.3}
\end{align}
同理由 \(F_j = \bigcup\limits_{i=1}^n G_{ij}\) 是 \(F_j\) 的初等分解以及 \(F_j \in \mathbf{P}\) 得到
\begin{align}
	\sum\limits_{j=1}^l m(F_j) = \sum\limits_{j=1}^l \left( \sum\limits_{i=1}^n m(G_{ij}) \right) \label{2.2.4}
\end{align}
但 \eqref{2.2.3} 及 \eqref{2.2.4} 式的右边显然相等, 所以
\[\sum\limits_{i=1}^n m(E_i) = \sum\limits_{j=1}^l m(F_j)\]
因此由 \eqref{2.2.2} 式定义的集函数 \(m\) 与集 \(E\) 的初等分解的方式无关. 
\end{proof}

这样, 我们就用 \eqref{2.2.2} 式在 \(\mathbf{R}_0\) 上定义了集函数 \(m\). 它是区间长度概念的拓广, \(m(E)\) 就是 \(E\) 中所有区间的总长度. 

\begin{lemma}\label{lemma2}
	上面作出的环 \(\mathbf{R}_0\) 上的集函数 \(m\) 有下列性质: 
\begin{enumerate}
    \item\label{lem2.1} 集函数 \(m\) 有有限可加性. 
    \item\label{lem2.2} 如果 \(E_1, \dots, E_n, E \in \mathbf{R}_0, E_1, \dots, E_n\) 互不相交而且 \(E \supseteq \bigcup\limits_{i=1}^n E_i\), 那么
    \begin{align}
    	\sum\limits_{i=1}^n m(E_i) \leqslant m(E) \label{2.2.5}
    \end{align}
    \item\label{lem2.3} 集函数 \(m\) 有 (有限) 次可加性: 如果 \(E_1, \dots, E_n, E \in \mathbf{R}_0\), 而且 \(E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^n E_i\), 那么
    \begin{align}
    	m(E) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n} m(E_i) \label{2.2.6}
    \end{align}
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
	\ref{lem2.1} 设 \(E_1, \dots, E_n\) 是 \(\mathbf{R}_0\) 中两两不相交的元, 记 \(E = \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i\). 设 \(E_i\) 的初等分解是
	\begin{align}
		E_i = \bigcup\limits_{j=1}^{l_i} F_{ij} \quad (i=1,2,\dots,n) \label{2.2.7}
	\end{align}
由于 \(E_1, \dots, E_n\) 两两不交, 因此 \(F_{ij} (i=1,2,\dots,n; j=1,2,\dots,l_i)\) 也是两两不交的, 所有这些 \(F_{ij}\) 的和集是 \(E\), 因此 \(E = \bigcup\limits_{i,j} F_{ij}\) 是 \(E\) 的初等分解, 所以 \(m(E) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{l_i} m(F_{ij})\). 又由 \eqref{2.2.7} 式得到
\( m(E_i) = \sum\limits_{j=1}^{l_i} m(F_{ij}) \), 所以
\[ m(E) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{l_i} m(F_{ij}) = \sum\limits_{i=1}^{n} m(E_i) \]
这就是 \(m\) 的有限可加性. 

\ref{lem2.2} 记 \(E_{n+1} = E - \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i\), 这时 \(E_1, E_2, \dots, E_{n+1}\) 两两不交, 其和集为 \(E\). 由性质 \ref{lem2.1} , 立即得到 \(m(E) = \sum\limits_{i=1}^{n+1} m(E_i)\). 但集函数 \(m\) 是非负的, 所以 \(\sum\limits_{i=1}^{n} m(E_i) \leqslant m(E)\). 

\ref{lem2.3} 首先, 由 \(m\) 的有限可加性及非负性, 可知 \(m\) 具有单调性. 对于 \(E_1, \dots, E_n \in \mathbf{R}_0, E \in \mathbf{R}_0, E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i\), 记 \(F_1 = E_1, F_j = E_j - \bigcup\limits_{i=1}^{j-1} E_i\) (\(j=2,3,\dots,n\)), 这时 \(F_1, \dots, F_n\) 是两两不交的, 它们都属于 \(\mathbf{R}_0\). 因而 \(E \cap F_i \in \mathbf{R}_0 (i=1, \dots, n)\), 同时 \( \bigcup\limits_{i=1}^n F_i = \bigcup\limits_{i=1}^n E_i \), 所以 \(E = E \cap \left( \bigcup\limits_{i=1}^n E_i \right) = \bigcup\limits_{i=1}^n (E \cap F_i)\). 由有限可加性和单调性有
\[ m(E) = m \left( \bigcup\limits_{i=1}^n (E \cap F_i) \right) = \sum\limits_{i=1}^n m(E \cap F_i) \leqslant \sum\limits_{i=1}^n m(E_i) \]

至此引理 \ref{lemma2} 证毕. 
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm2.2.2}
	\(\mathbf{R}_0\) 上的集函数 \(m\) 是一个测度. 
\end{theorem}

\begin{proof}
	显然, 需要证明的只是可列可加性. 

设 \(E_1, E_2, \dots, E_n, \dots\) 是 \(\mathbf{R}_0\) 中一列两两不交的元, 而且 \( \bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i = E \in \mathbf{R}_0 \). 
由 \eqref{2.2.5} 式, 可知对任何自然数 \(n\), 都成立
\[ \sum\limits_{i=1}^n m(E_i) \leqslant m(E), \]
令 \(n \to \infty\), 即得 \[ \sum\limits_{i=1}^\infty m(E_i) \leqslant m(E). \] 下面证明相反的不等式成立. 

设 \(E\) 的一个初等分解是 \[ E = \coprod\limits_{j=1}^l (a_j, b_j]. \]每个 \(E_i\) 也有初等分解, 因为 \(E_i (i=1, 2, \dots)\) 是可列集, 所以所有 \(E_i\) 分解所得的小区间全体也是可列个, 设为 \(( \alpha_n, \beta_n ] (n=1, 2, \dots )\). 显然
\[ \sum\limits_{i=1}^\infty m(E_i) = \sum\limits_{n=1}^\infty (\beta_n - \alpha_n). \]
对任何 \(\varepsilon > 0\),  (不妨要求 \(\varepsilon < l (b_j - a_j)\)) 作闭区间 \[ \left[ a_j + \frac{\varepsilon}{l}, b_j \right] (j=1, 2, \dots, l). \] 我们又作开区间 \[\left( \alpha_n, \beta_n + \frac{\varepsilon}{2^n} \right)\quad (n=1, 2, 3, \dots ),\] 那么这列开区间 \[\left\{ \left.\left( \alpha_n, \beta_n + \frac{\varepsilon}{2^n} \right) \right| n=1, 2, \dots \right\}\]覆盖了 \(E\), 因此也覆盖了每个闭区间 \[ \left[ a_j + \frac{\varepsilon}{l}, b_j \right]. \] 由 Borel 有限覆盖定理, 可以选出有限个开区间覆盖住这些闭区间, 这有限个开区间设为
\[ \left(\alpha_{n_1}, \beta_{n_1} + \frac{\varepsilon}{2^{n_1}}\right), \dots, \left(\alpha_{n_k}, \beta_{n_k} + \frac{\varepsilon}{2^{n_k}}\right). \] 
这样, 便有
\[ \bigcup\limits_{j=1}^{l} \left[ a_j + \frac{\varepsilon}{l}, b_j \right] \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{k} \left( \alpha_{n_i}, \beta_{n_i} + \frac{\varepsilon}{2^{n_i}} \right). \]
但 \[ \left(a_j+\frac{\varepsilon}{l} , b_j\right],\quad j = 1, 2, \dots, l \]
是彼此不交的, 所以
\[ m \left( \bigcup\limits_{j=1}^{l} \left(a_j+\frac{\varepsilon}{l} , b_j\right] \right) = \sum\limits_{j=1}^{l} \left( b_j - a_j - \frac{\varepsilon}{l} \right) \]
由 \eqref{2.2.6} 式即得
\[ \sum\limits_{j=1}^{l} \left( b_j - a_j - \frac{\varepsilon}{l} \right) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{k} \left( \beta_{n_i} + \frac{\varepsilon}{2^{n_i}} - \alpha_{n_i} \right) \leqslant \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \beta_n - \alpha_n \right) + \varepsilon. \]
由于 \(\varepsilon\) 是任意正数, 所以
\[ \sum\limits_{j=1}^{l} \left( b_j - a_j \right) \leqslant \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \beta_n - \alpha_n \right), \]
即 \(m(E) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{\infty} m(E_i)\). 结合上面的不等式, 就得到
\[ m(E) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} m(E_i). \]
\end{proof}

后面要定义的 Lebesgue 测度就是从这里的环 \(\mathbf{R}_0\) 上的测度 \(m\) 出发经延拓而得到的. 

\section{环 \(\mathbf{R}_0\) 上的 \(g\) 测度}

在 \(\mathbf{R}_0\) 上还有一类经常用的 \(g\) 测度. 设 \(g(x)\) 是 \((-\infty, +\infty)\) 上单调增加、右方连续函数. 对于任何 \(E \in \mathbf{R}_0\), 如果 \(E = \coprod\limits_{i=1}^{n} (a_i, b_i]\) 是 \(E\) 的初等分解, 规定
\begin{align}
	\mu_g(E) = \sum\limits_{i=1}^n (g(b_i) - g(a_i)). \label{2.2.8}
\end{align}
显然, 特别 \(g(x) = x\) 时, \(\mu_g(E)\) 就是 \(E\) 的初等分解中区间的总长度, 即 \(\mu_g(E) = m(E)\). 为了好对比起见, 可以称 \(g(b) - g(a)\) 是 \((a,b]\) 按 \(g\) 量的长度, 或简称为 \(g\)-长度.

由 \eqref{2.2.8} 所定义的 \(\mathbf{R}_0\) 上集函数 \(\mu_g\) 是 \(\mathbf{R}_0\) 上测度. 读者可以类比证明 \(m\) 是 \(\mathbf{R}_0\) 上测度的过程去证明这点, 即先在 \(\mathbf{R}_0\) 上证明 \(\mu_g\) 是单值的, 然后证明在 \(\mathbf{R}_0\) 上可列可加. 在证明 \(m\) 的可列可加性时所应用的 Borel 覆盖的技巧, 对于 \(g\)-长度, 由于 \(g\) 是右连续的, 那种技巧也是同样可以应用的.

为书写方便, 常把集函数 \(\mu_g\) 简写成 \(g, \mu_g(E)\) 简写成 \(g(E)\), 即由 \(g(x)\) 按 \eqref{2.2.8} 产生的集函数与 \(g(x)\) 本身一致起来. 将来要把 \(g\) 测度延拓到包含 \(\mathbf{R}_0\) 的某个 \(\sigma\)-代数上去, 得到 Lebesgue-Stieltjes 测度, 简称为 L-S 测度.

如果在直线上分布了一定质量的物质, 用 \(g(x)\) 表示该物质在 \((-\infty,x]\) 部分中的质量总和, 它就是 \(x\) 的单调增加, 右连续的函数. 由 \(g(x)\) 按 \eqref{2.2.8} 产生的 \(g(E)(E \in \mathbf{R}_0)\) 正是 \(E\) 中所含的总质量. 特别, 当该物质是均匀地分布在直线上时, 并且$(0,1]$中总质量为$1$时, 这时的 \(g(x) = x\) (或 \(g(x) = x + c, c\) 是常数), 由此可见, 在遇到非均匀分布时就不可能避免地用到 \(g\) 测度. \(g\) 测度是比 \(m\) 测度更为广泛的并且是常被用到的一种测度.
\end{document}